Definition: Unter einer Kongruenzabbildung versteht man eine längentreue Abbildung der Ebene oder des Raumes auf sich.
Die Verkettung von Kongruenzabbildungen ergibt stets eine Kongruenzabbildung.
Dies folgt unmittelbar aus der Transitivität der Längengleichheit.
Ebene Kongruenzabbildungen
Es gibt vier Typen ebener Kongruenzabbildungen:
- Achsenspiegelung
- Drehung mit Sonderfall Punktspiegelung
- Verschiebung
- Schubspiegelung
Verkettung ebener Kongruenzabbildungen
- Die Verkettung zweier Achsenspiegelungen ergibt stets entweder eine Verschiebung oder eine Drehung.
- Die Verkettung dreier Achsenspiegelungen ergibt bei kopunktalen bzw. vollständig parallelen Achsen eine Spiegelung. Bei Achsen in sogenannter allgemeiner Lage eine Schubspiegelung.
- Die Verkettung von vier Achsenspiegelungen kann durch eine Verkettung von zwei Achsenspiegelungen ersetzt werden. Damit kann die Verkettung von n Achsenspiegelungen stets auf die Verkettung von einer, zwei oder drei Achsenspiegelungen ersetzt werden.
Der Dreispiegelungssatz besagt, dass jede Kongruenzabbildung durch die Verkettung von höchstens drei Achsenspiegelungen ersetzt werden kann. Damit kann es kein weiteren Typen von ebenen Kongruenzabbildungen geben.
Räumliche Kongruenzabbildungen
Es gibt insgesamt sechs Typen räumlicher Kongruenzabbildungen:
Davon sind drei händigkeitserhaltend. Sie können durch zwei oder vier Ebenenspiegelungen erzeugt werden.
- Verschiebung
- Drehung um gerichtete Achse
- Schraubung
Die anderen drei wechseln die Händigkeit. Sie entsprechen einer oder drei Ebenenspiegelungen.
- Ebenenspiegelung
- Glegitspiegelung
- Drehspiegelung