Die Inhaltslehre der Schule bezieht sich im engeren Sinne auf den Flächeninhalt von Figuren und das Volumen bzw. den Rauminhalt von Körpern. Im weiteren Sinn kann sie sich aber auch auf die Länge von Kurven beziehen.
Vor allem zwischen dem Flächeninhaltsbegriff und dem Volumenbegriff existieren sehr enge Beziehungen. Zentrale Ideen und Strategien bei der Begriffsbildung und der Analyse spezieller Figuren bzw. Körper lassen sich unmittelbar von ebenen Figuren auf räumliche Körper übertragen.
Diese Beziehungen müssen im Mathematikunterricht intensiv thematisiert werden. Dies sichert, dass
- wichtige Ideen und Strategien, die über die Inhaltslehre hinaus gehen, erlebt werden können,
- die Lernenden sich die Lerninhalte kreativ entdeckend aneignen können und
- ein eng vernetzte Begriffe entstehen, die die Nachhaltigkeit des Lernens sichern.
Anmerkungen zur geschichtlichen Entwicklung: Fachmathematisch war die Inhaltslehre, so wie sie an der Schule der Sekundarstufe 1 gelehrt wird, bereits in der Antike vollständig entwickelt. Der Flächeninhalt von durch Funktionsgraphen begrenzten Figuren wurde auf Basis der Ende des 17. Jhdts. entwickelten Analysis allgemein berechenbar gemacht. Zentrale Rolle spielten dabei Mathematiker wie Darboux und Riemann. Mit der Entwicklung der Mengenlehre im 19. Jhdt wurde versucht, den Maßbegriff so zu erweitern, dass er sowohl für die üblichen Figuren und Körper, als auch für theoretisch anspruchsvollere Konstrukte anwendbar wird. Solche entstehen z.B., wenn aus einer Figur diejenigen Punkte entfernt werden, deren Koordinaten irrationale Werte haben. In der Mathematik nennt man diese Theorie allgemein Maßtheorie. Sie wurde vorwiegend von französischen Mathematikern wie Borel, Lebesgue und Jordan vorangetrieben.