Ganze und rationale Zahlen

Die Menge der ganzen Zahlen \mathbb{Z} umfasst die Menge der natürlichen Zahlen \mathbb{N} und erweitert diese um die negativen ganzen Zahlen. In aufzählender Mengenschreibweise schreibt sich \mathbb{Z} also als {..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, ...}.

Die Menge der rationalen Zahlen \mathbb{Q} umfasst die Menge der Bruchzahlen \mathbb{B} und erweitert diese um die negativen Bruchzahlen. Sie lässt sich wie bereits \mathbb{B} nicht sinnvoll in aufzählender Mengenschreibweise darstellen. Zu ihr gehören Element wie -2{,}07; -1; 0; \frac{1}{2}; 99\frac{2}{3} etc.

Die Einführung der rationalen Zahlen in der Schule erfolgt in mehreren Schritten mit unterschiedlichen Modellen. Die Reihenfolgen variieren je nach Lehrplan:

  • Einführung der negativen ganzen Zahlen an Alltagserfahrungen wie z.B. dem Thermometer, Höhenmeter, Aufzug,…
    • Erweiterung des Zahlenstrahls um negative ganze Zahlen
    • Ordnung der ganzen Zahlen, Betrag
  • Bewegungen am Zahlenstrahl mit positiven Operatoren in Analogie zu den Alltagserfahrungen (Die Operation + bzw. – entspricht einer Bewegung nach rechts bzw. links, addiert bzw. subtrahiert werden aber nur natürliche Zahlen)
  • Erweiterung des Zahlenstrahls um gebrochene Zahlen, also Erweiterung auf \mathbb{Q}
  • Schulden/Haben– bzw. Plättchenmodell, um auch negativen Operatoren einen Sinn zu verleihen
    • Addieren und Subtrahieren negativer Zahlen
    • Multiplizieren rationaler Zahlen
      • Negativer Multiplikand (Im Sinne der sukzessiven Addition bzw. Bruchteilbildung)
      • Negativer Multiplikator (Im Sinne des mehrfachen bzw. teilweisen Wegnehmens sowie ergänzend einer Kombination einer Multiplikation mit dem entsprechenden positiven Multiplikators mit einem Umkehroperator)
    • Dividieren rationaler Zahlen
      • Fall: „- : +“ (Grundvorstellung Verteilen)
      • Fall: „- : -“ (Grundvorstellung Aufteilen)
      • Fall: „+ : -“ (Umkehroperation zur Multiplikation)
    • Rechengesetze und vorteilhaftes Rechnen (jeweils für Addition und Multiplikation)
      • Assoziativgesetze,
      • Kommutativgesetze
        • Vertauschen von Summanden bei Mitnahme des Rechenzeichens
        • Vertauschen von Faktoren bei Mitnahme des Rechenzeichens
      • Distributivgesetz

Das Rechnen mit rationalen Zahlen ist vor allem im Kontext von Termen und Gleichungen von besonderer Bedeutung. Eine intensive Auseinandersetzung mit den Rechengesetzen und deren Anwendungen für ein vorteilhaftes Rechnen dient damit weniger dem Ziel, hohe schriftliche Rechenfertigkeiten zu erzielen, es bereitet vielmehr einen verständigen und souveränen Umgang mit Variablen und Termen vor.

Die fachmathematische Konstruktion von \mathbb{Z} aus der Menge der natürlichen Zahlen orientiert sich grob an folgender Idee: Wenn man Rechnungen wie 3-5 zulässt, haben diese keine Lösung mehr in \mathbb{N}. Der erweiterte Zahlbereich, indem diese Rechnung eine Lösung besitzt, sollte aber so konstruiert werden, dass 3-5 dieselbe Lösung hat wie etwa 0-2 oder 1-3 etc. Die Zahlentupel aus natürlichen Zahlen also z.B. (0,2), (1,3), (2,4), (3,5), … , die zu solchen gleichwertigen Aufgaben gehören, werden zu einer Menge zusammengefasst. Diese Menge wird dann als ganze Zahl aufgefasst und mit einem neuen Symbol bezeichnet. Dabei entspräche also {(0,2), (1,3), (2,4), (3,5), … } der -2 und die Menge {(2,0), (3,1), (4,2), (5,3), … } der +2. Die fachmathematische Konstruktion von \mathbb{Q} erfolgt analog aus der Menge der Bruchzahlen \mathbb{B}.