Satz: Das Doppelverhältnis (A,B;C,D) verändert sich unter einer perspektivischen Abbildung nicht.

Beweis: Der Beweis erfolgt in zwei Schritten.

1. Schritt: Das Doppelverhältnis (A,B;C,D) kann mithilfe von Strahlen von einem beliebigen Punkt O außerhalb der Geraden a als ein einfaches Verhältnis konstruiert werden. Dazu zeichnet man die Parallele zum Strahl AO durch B. Diese schneidet den Strahl OC in U und den Strahl OD in V.
   Das Doppelverhältnis (A,B;C,D) entspricht dann dem Verhältnis |BV| : |UB|. Zur Begründung können entsprechende zentrische Streckungsfiguren dienen, die die ursprünglichen Teilverhältnisse (A,B;C) und (A,B;D) ersetzen (Buttons „Fragezeichen“ drücken!). Beide neuen Darstellungen der Verhältnisse enthalten |AO|. Durch Kürzen von |AO| wird aus dem Doppelverhältnis (A,B;C,D) dann ein gleichwertiges einfaches Verhältnis |BV| : |UB|.
2. Eine beliebige Gerade a‘ (Button „Bildgerade“ drücken!), die das Bild von a unter einer perspektivischen Abbildung mit Zentrum O ist, besitzt ein Doppelverhältnis (A‘,B‘;C‘,D‘), das analog zu Schritt 1 einem Verhältnis |B’V’| : |U’B’| entspricht. Die Streckungsfigur aus den Strahlen OB, OC und OD geschnitten durch das Parallelenpaar UV und U’V‘ zeigt unmittelbar die Gleichheit der beiden einfachen Verhältnisse |BV| : |UB| und |B’V’| : |U’B’| und damit die der entsprechenden Doppelverhältnisse.