Die Achsenspiegelung hat unter den Kongruenzabbildungen in mehrfacher Hinsicht eine besondere Rolle. Fachmathematisch ist sie besonders bedeutsam, da alle anderen Kongruenzabbildungen als Verkettungen von Achsenspiegelungen dargestellt werden können.
Sie ist in der Schule diejenige Kongruenzabbildung, die als erstes eingeführt und am intensivsten untersucht wird. Dabei ist es aus didaktischer Sicht sinnvoll, zunächst vielfältige Erfahrungen mit dem Spiegel zu machen. Einen attraktiven Anlass dazu liefern Spiegelaufgaben am Einfachspiegel und dem Doppelspiegel. Vom Phänomen des Spiegels ausgehend zu einer Definition der Achsenspiegelung zu kommen, stellt eine herausfordernde Aufgabe von hohem Bildungswert dar.
Definition
Eine Abbildung der Ebene E auf sich nennt man Achsenspiegelung an einer Geraden g aus E, wenn jedem Punkt P aus E ein Bildpunkt P‘ so zugeordnet wird, dass gilt:
- Die Strecke [PP‘] wird durch g senkrecht halbiert, falls P nicht auf g liegt
- P’=P, falls P Element von g
Aufgabe: Warum ist es notwendig, den Fall „P Element von g“ besonders zu berücksichtigen?
Verkettungen von Achsenspiegelungen
Die Verkettung von Achsenspiegelungen ist als Verkettung von Kongruenzabbildungen stets wieder eine Kongruenzabbildung. Diese Verkettungen lassen vollständig erfassen, indem man systematisch die Hintereinanderschaltung von Spiegelungen an zwei und drei Achsen untersucht. Es lässt sich damit leicht zeigen, dass Abbildungen an mehr als drei Achsen stets durch solche mit einer kleineren Achsenzahl ersetzt werden können.
- Verkettung zweier Achsenspiegelungen (Vollständige Fallunterscheidung)
- an parallelen Achsen: Dies entspricht einer Verschiebung
- an sich in einem Punkt schneidenden Achsen: Dies entspricht einer Drehung
- Verkettung dreier Achsenspiegelungen (Vollständige Fallunterscheidung nach Anzahl der Schnittpunkte)
- an zueinander parallelen Achsen: Dies ergibt eine Achsenspiegelung
- an kopunktalen Achsen: Dies ergibt eine Achsenspiegelung
- an Achsen in beliebiger Lage, die sich in zwei Punkten oder in drei Punkten schneiden bzw. : Dies ergibt eine neue Kongruenzabbildung die Schubspiegelung
- Verkettung von mehr als drei Achsenspiegelungen
- Die Verkettung von mindestens vier Achsenspiegelungen kann stets durch eine Verkettung von zwei Achsenspiegelungen ersetzt werden
- Die Verkettung von n Achsenspiegelungen (n>3) kann damit schrittweise solange um zwei Spiegelungen reduziert werden, bis eine Achse, zwei Achsen (parallel oder sich schneidend) oder drei Achsen (weder kopunktal noch alle parallel) übrig bleiben. Es handelt sich damit bei der Verkettung beliebig vieler Achsenspiegelungen immer nur um eine Achsenspiegelung, Drehung, Verschiebung oder Schubspiegelung.
- Übersicht über Verkettung von Achsenspiegelungen (interaktive Übersicht)